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title: 估算技巧
description: "估算技巧是一种快速计算的方法，通过估算结果的范围，简化计算过程，提高计算效率。"
keywords: [估算技巧, 快速计算, 估算方法, 数学运算, 资料分析]
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# 估算技巧

**多位联除**的常见形式如下：
$$
\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C}
$$

在“截取除法中”，对于多位联除我们通过分析选项之间差距可以进行判断
1. 移位进行近似
2. 保留两位或三位进行除法

在估算技巧中我们将引入其他的乘法除法技巧进行进一步的计算和近似

## 乘除估算
### 等比例放缩
- **乘法为符号两边一个放大一个缩小**
$$
A \times B \approx A\uparrow \times B\downarrow \approx \frac{A}{1 + a\%} \times \frac{B}{1 - a\%}
$$

- **除法为符号两边同时放大或缩小**


**例**：   
$$
19.776 \times 6.58 = 
$$   

A．118.25 B．124.63 C．130.13 D．137.48

**解析**：  
1. 选项之间差距接近，选择保留3位进行计算，同时将左边扩大10%到20，右边缩小10%到6.51
$$
原式 = \frac{19.7}{1 + 10\%} \times \frac{6.58}{1 - 10\%}
\approx 20 \times 6.51 = 130.2
$$

2. 选项C和130.2极为接近，故选择C

## 特殊分数小数之间转化加速计算
常见分数小数之间转化（记住1/N（N < 20）的对应转化即可）

| 分数   | 百分比  | 分数   | 百分比   |
|--------|---------|--------|----------|
| 1/2    | 50%     | 1/3    | 33.3%    |
| 1/4    | 25%     | 1/5    | 20%      |
| 1/6    | 16.7%   | 1/7    | 14.3%    |
| 1/8    | 12.5%   | 1/9    | 11.1%    |
| 1/10   | 10%     | 1/11   | 9.1%     |
| 1/12   | 8.3%    | 1/13   | 7.7%     |
| 1/14   | 7.1%    | 1/15   | 6.7%     |
| 1/16   | 6.25%   | 1/17   | 5.9%     |
| 1/18   | 5.6%    | 1/19   | 5.3%     |
| n/9    | nn.n%   |  |  |


**例** 2011 年，我国规模以上电子信息制造业主营业务成本占主营业务收入的比
重达到88.7%，比 2010年提高0.6个百分点。行业中亏损企业 2497 个，同比增
长36.7%，企业亏损面达 16.6%；亏损企业亏损额同比增长 52.9%。
2011年，我国规模以上电子信息制造企业数量约为多少万家？（ ）

A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5

**解析**：
1. 亏损面达16.6%，即亏损企业数量占总企业数量的16.6%
2. 2497个亏损企业，占比$$16.6\% \approx \frac{1}{6}$$，则2010年企业数量为：
$$
\frac{2497}{\frac{1}{6}} \approx 2500 \times 6 = 15000
$$

## 份数分配法
假设增长率为r，那么基期和现期之间的关系为：
$$
现期 = 基期 \times (1 + r)
$$

$$
基期 = \frac{现期}{1 + r}
$$

如果 r 可以化简为 $$\frac{m}{n}$$，那么基期可以化简为：
$$
基期 = \frac{现期}{1 + \frac{m}{n}} = \frac{现期 \times n}{n + m}
$$

如果 $$ m = 1 $$，那么基期可以化简为：
$$
基期 = \frac{现期}{1 + \frac{m}{n}} = \frac{现期 \times n}{n + m} = \frac{现期 \times n}{n + 1}
$$

在 **m = 1** 的情况下，**基期**可以化简为：
$$
基期 = \frac{现期 \times n}{n + 1}
$$

**现期**为：
$$
现期 = \frac{基期 \times (n + 1)}{n}
$$

增长量的计算
$$
增长量 = 现期 - 基期 = 现期 - \frac{现期 \times n}{n + 1} = \frac{现期 \times (n + 1) - 现期 \times n}{n + 1} = \frac{现期}{n + 1}
$$

因为$$现期 = \frac{基期 \times (n + 1)}{n}$$，所以增长量也可以化简为：
$$
增长量 = \frac{现期}{n + 1} = \frac{\frac{基期 \times (n + 1)}{n}}{n + 1} = \frac{基期}{n}
$$

通俗的理解为：
> 如果原来有n个苹果，增长率为$$ r\% \approx \frac{1}{n}$$ ，那么现在有n+1个苹果，增长量就是1个苹果


**例** 2010 年一季度，我国水产品贸易进出口总量 158.7 万吨，进出口总额 40.9
亿美元，同比分别增长 14.2%和 29.0%。其中，出口量 67.1 万吨，出口额 26.5
亿美元，同比分别增长 11.7%和24.9%。2010年一季度，我国水产品出口额比上年同期约增长了多少亿美元？

A.5.3 B.7.0 C.9.2 D.21.2

**解析**：
1. 增长率$$ r\% \approx \frac{1}{n}$$，即$$ 24.9\% \approx \frac{1}{4}$$
2. $$ 增长量 = 现期 \div n = 26.5 \div (4 + 1) \approx 5.3 $$
3. 选项中与5.3最接近的是5.3，故选择A


** 例** 
$$
26275.123 \times 12.7\% = 
$$   
A．3300 B．2900 C．3700 D．4100

**解析**：
$$ 
原式 \approx 26200 \times \frac{1}{8} = \frac{26200}{8} \approx 3200^{+}
$$
答案比 3200 稍多一点故选择A

**例** 2015 年我国高技术制造业实现主营业务收入 116048.9 亿元，比 2010 年增长
108.2%；占全部制造业企业的比重为 12.8%，比2010 年提高0.8 个百分点。2015
年我国高技术制造业实现利润总额 7233.7 亿元，比 2010 年增长165.5%，增幅比
其他制造业平均水平高出 11.5 个百分点；高技术制造业利润总额占全部制造业
的比重为13.1%，比2010年提高0.5个百分点。2010年，我国制造业实现利润总额约多少万亿元？

A．1.3 B．1.7 C．2.2 D．2.8

**解析**：
我们可以通过以下步骤计算2010年我国的制造业实现利润总额：

1. **2015年高技术制造业的利润总额**：
   - 2015年高技术制造业实现利润总额为7233.7亿元。

2. **2015年高技术制造业的利润增长率**：
   - 比2010年增长了165.5%。

3. **计算2010年高技术制造业的利润总额**：
   $$
   利润_{2010} = \frac{利润_{2015}}{1 + 增长率} = \frac{7233.7}{1 + 1.655} = \frac{7233.7}{2.655}
   $$

4. **高技术制造业利润总额占全部制造业的比重为13.1%，比2010年提高0.5个百分点**：
   $$
   2010年占比 = 13.1\% - 0.5\% = 12.6\%
   $$

5. **计算2010年全部制造业的利润总额**：
   $$
   全部制造业利润_{2010} = \frac{高技术制造业利润_{2010}}{比重} = \frac{7233.7}{2.655} \div 12.6\% 
   \approx \frac{7233.7}{2.655} \times 8
   $$

6. **选项之间差距大于10%，截取前两位进行计算(计算时只需要不断保留前2位即可)**
    $$
    全部制造业利润_{2010} = 
    \frac{7200 \times 8}{2.6}
    \approx \frac{56^{+}}{2.6}
    \approx 2.1^{+}
    $$
结果比 2.1 稍多一点，故选择 C

